Mathematics – linear algebra

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线性代数（英语：linear algebra）是关于向量空间和线性映射的一个数学分支。它包括对线、面和子空间的研究，同时也涉及到所有的向量空间的一般性质。

线性代数既是纯数学也是应用数学的核心。例如，放宽向量空间的公理就产生抽象代数，也就出现若干推广。泛函分析研究无穷维情形的向量空间理论。线性代数与微积分结合，使得微分方程线性系统的求解更加便利。线性代数的理论已被泛化为算子理论。

线性代数的方法还用在解析几何、工程、物理、自然科学、计算机科学、计算机动画和社会科学（尤其是经济学）中。由于线性代数是一套完善的理论，非线性数学模型通常可以被近似为线性模型。

第一次现代化精确定义向量空间是在1888年，由朱塞佩·皮亚诺提出。在1888年，弗兰西斯·高尔顿还发起相关系数的应用。经常有多于一个随机变量出现并且它们可以互相关。在多变元随机变量的统计分析中，相关矩阵是自然的工具。所以这种随机向量的统计研究帮助矩阵用途的开发。到1900年，一种有限维向量空间的线性变换理论被提出。在20世纪上半叶，许多前几世纪的想法和方法被总结成抽象代数，线性代数第一次有了它的现代形式。矩阵在量子力学、狭义相对论和统计学上的应用帮助线性代数的主题超越纯数学的范畴。计算机的发展导致更多地研究致力于有关高斯消元法和矩阵分解的有效算法上。线性代数成为数字模拟和模型的基本工具。

线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。在这里，一个向量是一个有方向的线段，由长度和方向同时表示。这样向量可以用来表示物理量，比如力，也可以和标量做加法和乘法。这就是实数向量空间的第一个例子。

现代线性代数已经扩展到研究任意或无限维空间。一个维数为n的向量空间叫做n维空间。在二维和三维空间中大多数有用的结论可以扩展到这些高维空间。尽管许多人不容易想象n维空间中的向量，这样的向量（即n元组）用来表示数据非常有效。由于作为n元组，向量是n个元素的“有序”列表，大多数人可以在这种框架中有效地概括和操纵数据。比如，在经济学中可以使用8维向量来表示8个国家的国民生产总值（GNP）。当所有国家的顺序排定之后，比如（中国，美国，英国，法国，德国，西班牙，印度，澳大利亚），可以使用向量{\displaystyle (v_{1},v_{2},v_{3},v_{4},v_{5},v_{6},v_{7},v_{8})}显示这些国家某一年各自的GNP。这里，每个国家的GNP都在各自的位置上。

作为证明定理而使用的纯抽象概念，向量空间（线性空间）属于抽象代数的一部分，而且已经非常好地融入这个领域。一些显著的例子有：不可逆线性映射或矩阵的群，向量空间的线性映射的环。

线性代数也在数学分析中扮演重要角色，特别在向量分析中描述高阶导数，研究张量积和可交换映射等领域。

向量空间是在域上定义的，比如实数域或复数域。线性算子将线性空间的元素映射到另一个线性空间（也可以是同一个线性空间），保持向量空间上加法和标量乘法的一致性。所有这种变换组成的集合本身也是一个向量空间。如果一个线性空间的基是确定的，所有线性变换都可以表示为一个数表，称为矩阵。对矩阵性质和矩阵算法的深入研究（包括行列式和特征向量）也被认为是线性代数的一部分。

我们可以简单地说数学中的线性问题——-那些表现出线性的问题——是最容易被解决的。比如微分学研究很多函数线性近似的问题。在实践中与非线性问题的差异是很重要的。

线性代数方法是指使用线性观点看待问题，并用线性代数的语言描述它、解决它（必要时可使用矩阵运算）的方法。这是数学与工程学中最主要的应用之一。

向量空间是线性代数的主要结构。域F上的向量空间是集合V再加上两个二元运算。V的元素叫做向量而F的元素叫做标量。第一个运算，向量加法，取任意两个向量v和w，然后输出第三个向量{\displaystyle v+w}。第二个运算，向量乘法，取任意标量a和任意向量v并输出新向量{\displaystyle av}。从第一个例子来看，其中乘法是以标量a将向量v缩放后完成的，这种乘法叫做v数乘a。向量空间内的加法和乘法运算满足下列公理。在下表中，令u,v和w为V中的任意向量，a和b为F中的标量。

欧氏空间：

1)实数坐标空间：以R表示实数域。对任意一个正整数n，实数的n元组的全体构成了
R上的一个n维向量空间，用R^n来表示。有时称之为实数坐标空间。

2)欧几里得结构：n维实数坐标空间是实n维向量空间的原型。事实上，每一个n维向
量空间V都可以看作实数坐标空间──V与R^n是同构的（isomorphic）。为了做欧氏
几何，人们希望能讨论两点间的距离，直线或向量间的夹角。一个自然的方法是在
R^n上，对任意两个向量x、y，引入它们的“标准内积”<x ,y> >（一些文献上称为
点积，记为x*y）。也就是说，R^n中的任意两个向量对应着一个实数值。 我们把R^n及
这样定义的内积，称为R^n上的欧几里得结构；此时的R^n也被称为n维欧几里得空间，
内积”<,>”称为欧氏内积。利用这个内积，可以建立距离、长度、角度等概念。

3)欧氏空间：这里的R^n仅指实数向量空间，而加入了如上定义的欧几里得结构后就
可称为欧氏空间；有些作者会用符号E^n来标记之。欧氏结构使E^n具有这些空间结
构：内积空间、希尔伯特空间、赋范向量空间以及度量空间。

子空间指的是维度小于全空间的部分空间。所谓空间，所指为带有一些特定性质的集合，是故子空间可以算是子集合。

矩阵是一个矩形的数学方阵。一个方阵可看作两个矢量空间的线性变阵，故矩阵理论可当作线性代数的一个分枝。

在图论，每一个加上标示图对应唯一的非负矩阵，称为邻接矩阵。

排列矩阵是排列的矩阵表达式，在组合数学极为重要。

正定矩阵及半正定矩阵可用来寻找实数函数的极大值或极小值。

任意环矩阵亦非常重要。举例说，多项式环的矩阵用于控制理论。

另外，不同的矩阵环经常是提供数学上反例的素材。

一般情况下，线性变换可能相当复杂。一些低维的例子，让我们领会不同的类型。一般的n维变换T的一个技巧是找到在T下的不变集——特征线。如果v是一个非零向量，使得{\displaystyle Tv}为v的标量倍，那么通过0和v的直线就是在T下的不变集，而v被称为特征向量。使得{\displaystyle Tv-\lambda v}的标量\lambda 叫做T的特征值。

要求一个特征向量或特征值，我们注意到Tv-\lambda v=(T-\lambda \,{\text{I}})v=0,

其中I是单位矩阵。为使该方程存在非平凡解，{\displaystyle \det \left(T-\lambda I\right)=0}。行列式是一个多项式，所以在域\mathbb {R} 内不保证存在特征值。

内积空间是数学中的线性代数里的基本概念，是增添了一个额外的结构的向量空间。这个额外的结构叫做内积或标量积。内积将一对向量与一个标量连接起来，允许我们严格地谈论向量的“夹角”和“长度”，并进一步谈论向量的正交性。内积空间由欧几里得空间抽象而来（内积是点积的抽象），这是泛函分析讨论的课题。

内积空间有时也叫做准希尔伯特空间（pre-Hilbert space），因为由内积定义的距离完备化之后就会得到一个希尔伯特空间。

在早期的著作中，内积空间被称作酉空间，但这个词现在已经被淘汰了。在将内积空间称为酉空间的著作中，“内积空间”常指任意维（可数或不可数）的欧几里德空间。

在希尔伯特空间的文章中有一些内积空间的例子，其中引出自内积的度量诱导一个完备的度量空间。从内积空间的内积可以很自然地定义一个范数： \|x\| =\sqrt{\langle x, x\rangle}.由内积的性质可以证明它满足作为范数的要求。这个范数就是x在内积空间中的“长度”。

可以看到范数\|\cdot \|的定义使得V成为一个赋范向量空间，因此也是一个度量空间。最重要的内积空间是对于这个度量完备的空间，叫做希尔伯特空间。

从内积的性质可以推出范数的一些基本性质。这些性质可以看作是欧几里德空间中一些几何性质的推广：

从内积可以定义范数，而反过来也一样，从范数可以定义内积。定义的公式被称为“极化公式”。

内积允许我们定义向量空间中的角度，因此像平面几何和立体几何中在二维和三维欧几里德空间里建立直角坐标系一样，我们可以在内积空间里建立类似直角坐标的结构，以方便讨论一般向量空间里的类似数学问题。在内积空间中，数学家们使用“正交”来代替“垂直”的说法。两个向量正交，如果它们的内积等于0.在装备了点积作为内积的二维和三维空间里，正交和垂直是等价的。两个（三个）相互垂直，长度为1的向量构成了二维和三维欧几里德空间的坐标系。而在更一般的内积空间中，我们使用“正交基”来作为类似直角坐标的架构的称呼。

相关定理

一般化和相关主题

线性代数是一个成功的理论，其方法已被应用于数学的其他分支。模论就是将线性代数中的标量的域用环替代，并进行研究，像线性无关、线性生成空间、基底、秩等概念仍然可以适用。不过许多线性代数中的定理在模论中不成立，例如不是所有的模都有基底（有基底的模称为自由模），自由模的秩不唯一，不是所有模中的线性无关的子集都可以延伸成为基底，也不是所有模生成空间的子集都包括基底。

多重线性代数推广线性代数的方法。和线性代数一样也是建立在向量的概念上，发展向量空间的理论。在应用上，出现许多类型的张量。

在算子的谱理论中，通过数学分析，可以控制无限维矩阵。泛函分析混合线性代数和数学分析中的方式，研究许多不同函数空间，例如Lp空间。