Physics – quantum mechanics (1) – Best global website guide

量子力学（英语：quantum mechanics）是物理学的分支学科。它主要描写微观的事物，与相对论一起被认为是现代物理学的两大基本支柱，许多物理学理论和科学，如原子物理学、固体物理学、核物理学和粒子物理学以及其它相关的学科，都是以其为基础。

量子力学从根本上改变人类对物质结构及其相互作用的理解。除了透过广义相对论描写的引力外，迄今所有基本相互作用均可以在量子力学的框架内描述（量子场论）。量子理论的重要应用包括量子化学、量子光学、量子计算、超导磁体、发光二极管、激光器、晶体管和半导体如微处理器等。

关键现象、历史背景

黑体辐射

理想黑体可以吸收所有照射到它表面的电磁辐射，并将这些辐射转化为热辐射，其光谱特征仅与该黑体的温度有关，与黑体的材质无关。

1900年12月4日，后来被定为量子力学的诞辰，马克斯·普朗克在柏林科学院发表报告，通过将维恩定律加以改良，又将玻尔兹曼熵公式重新诠释，他得出了一个与实验数据完全吻合的普朗克公式来描述黑体辐射，但是在诠释这个公式时，他将在物体里发射与吸收辐射的原子视为微小的量子谐振子，并且假设这些量子谐振子的能量不是连续的，而是离散的数值，并且单独量子谐振子吸收和发射的辐射能是量子化的。

光电效应

海因里希·赫兹于1887年做实验发现，如果照射紫外光于金属表面，则电子会从金属表面被发射出来，他因此发现了光电效应。

1905年，阿尔伯特·爱因斯坦提出了光量子的理论来解释这个现象。他认为，光束是由一群离散的光量子所组成，而不是连续性波动。这些光量子现今被称为光子，其能量 $E=h\nu$

这里， $\nu$ 是频率，为普朗克常数。

爱因斯坦大胆地预言，假若光子的频率高于金属的极限频率，则这光子可以给予足够能量来使得金属表面的一个电子逃逸，造成光电效应。电子获得的能量中，一部分被用来将金属中的电子射出，这部分能量叫逸出功，（ $E_{\mbox{w}}$ 表示），另一部分成为了逃逸电子的动能： $h\nu=E_{\mbox{w}}+\frac{1}{2}mv^2$

这里是电子的质量，是其速度。

假若光的频率低于金属的极限频率，那么它无法使得电子获得足够的逸出功。这时，不论辐照度有多大，照射时间有多长，都不会发生光电效应。而当入射光的频率高于极限频率时，即使光不够强，当它射到金属表面时也会观察到光电子发射。罗伯特·密立根后来做实验证明这些理论与预言属实。

爱因斯坦将普朗克的量子理论加以延伸扩展，他提出不仅仅物质与电磁辐射之间的相互作用是量子化的，而且量子化是一个基本物理特性的理论。通过这个新理论，他得以解释光电效应。

原子结构

20世纪初，卢瑟福模型被公认为正确的原子模型。这个模型假设带负电荷的电子，像行星围绕太阳运转一样，围绕带正电荷的原子核运转。在这个过程中库仑力与离心力必须平衡。

1913年，尼尔斯·玻尔提出了玻尔模型，这个模型引入量子化的概念来解释原子结构和光谱线。玻尔认为，电子只能在对应某些特定能量值 E_n 的轨道上运动。假如一个电子，从一个能量比较高的轨道 E_n ，跃迁到一个能量比较低的轨道（ E_m ）上时，它发射的光的频率为 $\nu=\frac{E_n-E_m}{h}$

反之，通过吸收同样频率的光子，电子可以从低能的轨道，跃迁到高能的轨道上。

玻尔模型可以解释氢原子的结构。改善的玻尔模型，还可以解释类氢原子的结构，即 He⁺, Li²⁺, Be³⁺ 等。但它还不够完善，仍然无法准确地解释其它原子的物理现象。

物质波

1924年，路易·德布罗意发表博士论文提出，粒子拥有波动性，其波长 $\lambda_{Broglie}$ 与动量成反比，以方程表示为 $\lambda_{Broglie}=\frac{h}{p}$ 。

这理论称为德布罗意假说，又称为物质波假说。这意味着电子不但具有粒子性，还具有波动性。

1927年，克林顿·戴维森与雷斯特·革末做实验将低能量电子入射于镍晶体，然后测量对于每一个角度的散射强度。从分析实验数据，他们发现，假设加速电势为5.4eV，则在50°之处会出现强劲反射，符合威廉·布拉格于1913年所提出的 X射线衍射性质。这惊人的结果证实电子是一种物质波，也证实了物质波假说。这实验就是著名的戴维森－革末实验。

电子的双缝实验可以非常生动地展示出多种不同的量子力学现象。从量子力学的角度来看，电子的分布概率可以用两个分别通过两条狭缝的量子态叠加在一起来解释。这个实验非常具有信服力地展示出电子的波动性。

数学基础

在二十世纪二十年代，出现了两种量子物理的理论，即维尔纳·海森堡的矩阵力学和埃尔温·薛定谔的波动力学。

海森堡主张，只有在实验里能够观察到的物理量（可观察量），才具有物理意义，才可以用理论描述其物理行为，例如，不能直接观察到电子运动于原子里的位置与周期。因此，他着重于研究电子跃迁时所发射光波的离散频率和辐照度，这些是可观察量。但是，他无法实际应用这点子于氢原子问题，因为这问题太过复杂，他只能改应用这点子于比较简单，但也比较不实际的问题。经过一番努力，他计算出谐振子问题的能谱与零点能量，符合分子光谱学的结果。另外，在海森堡理论中，系统的哈密顿量是位置和动量的函数，但它们不再具有经典力学中的定义，而是由二阶（代表着过程的初态和终态）傅里叶系数的矩阵给出。海森堡还发现，这些矩阵互不对易。这些论述后来发展成为矩阵力学。

从德布罗意论文的相对论性理论，薛定谔推导出一种波动方程，称为薛定谔方程；用这方程可以计算出氢原子的谱线，得到与玻尔模型完全相同的答案。波动力学的基础方程就是薛定谔方程。薛定谔率先于1926年证明了这两种理论的等价性。稍后，卡尔·埃卡特和沃尔夫冈·泡利也给出类似证明，约翰·冯·诺伊曼严格地证明了波动力学和矩阵力学的等价性。

基础公设

整个量子力学的数学理论可以建立于五个基础公设。这些公设不能被严格推导出来的，而是从实验结果仔细分析归纳总结而得到的。从这五个公设，可以推导出整个量子力学。假若量子力学的理论结果不符合实验结果，则必须将这些基础公设加以修改，直到没有任何不符合之处。至今为止，量子力学已被实验核对至极高准确度，还没有找到任何与理论不符合的实验结果，虽然有些理论很难直觉地用经典物理的概念来理解，例如，波粒二象性、量子纠缠等等。

量子态公设：量子系统在任意时刻的状态（量子态）可以由希尔伯特空间 ${\mathcal {H}}$ 中的态矢量 $|\psi \rangle$ 来设定，这态矢量完备地给出了这量子系统的所有信息。这公设意味着量子系统遵守态叠加原理，假若 $|\psi _{1}\rangle$ 、 $|\psi _{2}\rangle$ 属于希尔伯特空间 ${\mathcal {H}}$ ，则 $c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle$ 也属于希尔伯特空间 ${\mathcal {H}}$ ,和 $c_{2}$ 皆为常数。
时间演化公设：态矢量为 $|\psi(t)\rangle$ 的量子系统，其动力学演化可以用薛定谔方程表示， $i\hbar \frac{\partial}{\partial t}|\psi(t)\rangle = \hat{H}|\psi(t)\rangle$ ；其中，哈密顿算符 ${\hat {H}}$ 对应于量子系统的总能量， $\hbar$ 是约化普朗克常数。根据薛定谔方程，假设时间从 $t_{0}$ 流易到，则态矢量从 $|\psi(t_0)\rangle$ 演化到 $|\psi(t)\rangle$ ，这过程以方程表示为 $|\psi (t)\rangle ={\hat {U}}(t,t_{0})|\psi (t_{0})\rangle$ ；其中， ${\hat {U}}(t,t_{0})=e^{{-i{\hat {H}}(t-t_{0})/\hbar }}$ 是时间演化算符。
可观察量公设：每个可观察量都有其对应的厄米算符 ${\hat {A}}$ ，而算符 ${\hat {A}}$ 的所有本征矢量共同组成一个完备基底。
坍缩公设：对于量子系统测量某个可观察量，这动作可以数学表示为将其对应的厄米算符 ${\hat {A}}$ 作用于量子系统的态矢量 $|\psi \rangle$ ，测量值只能为厄米算符 ${\hat {A}}$ 的本征值。在测量后，假设测量值为 $a_{i}$ ，则量子系统的量子态立刻会坍缩为对应于本征值 $a_{i}$ 的本征态 $|e_i\rangle$ 。
波恩公设：对于这测量，获得本征值 $a_{i}$ 的概率为量子态 $|\psi \rangle$ 处于本征态 $|e_i\rangle$ 的概率幅的绝对值平方。^[c]

量子态与量子算符

量子态指的是量子系统的状态，态矢量可以用来抽象地表现量子态。采用狄拉克标记，态矢量表示为右矢 $|\psi \rangle$ ；其中，在符号内部的希腊字母 $\psi$ 可以是任何符号，字母，数字，或单字。例如，沿着磁场方向测量电子的自旋，得到的结果可以是上旋或是下旋，分别标记为 $|\uparrow\rangle$ 或 $|\downarrow\rangle$ 。

在施特恩-格拉赫实验里，可以透过测量而得到自旋的z-分量，这种物理量称为可观察量，透过做实验测量可以得到其测值。每一个可观察量都有一个对应的量子算符；将算符作用于量子态，会使得量子态线性变换成另一个量子态。假若变换前的量子态与变换后的量子态，除了乘法数值以外，两个量子态相同，则称此量子态为此算符的本征态，称此乘法数值为此算符的本征值。可观察量的算符也许会有很多本征值与本征态。根据统计诠释，每一次测量所得到的测值只能是其中的一个本征值，而且，测得这本征值的机会呈概率性，量子系统的量子态也会改变为对应于本征值的本征态。^[16]^:106-109例如，自旋的z-分量是个可观察量 S_z ，做实验可以得到的测值为 $+\hbar/2$ 或 $-\hbar/2$ 。对应于可观察量 S_z 的量子算符 $\hat{S}_z$ 有两个本征值分别为 $+\hbar/2$ 、 $-\hbar/2$ 的本征态 $|\uparrow\rangle$ 、 $|\downarrow\rangle$ ，所以将量子算符 $\hat{S}_z$ 分别作用于这两个本征态，会得到 $\hat{S}_z|\uparrow\rangle=+\tfrac{\hbar}{2}|\uparrow\rangle$ 、 $\hat{S}_z|\downarrow\rangle=-\tfrac{\hbar}{2}|\downarrow\rangle$ 。

将量子算符 $\hat{S}_z$ 作用于量子态 $|\psi\rangle=\alpha|\uparrow\rangle+\beta|\downarrow\rangle$ ，会得到本征值 $+\hbar/2$ 、 $-\hbar/2$ 的概率分别为 $|\alpha|^2$ 、 $|\beta|^2$ 。假若本征值为 $+\hbar/2$ ，则量子态 $|\psi \rangle$ 会坍缩为量子态 $|\uparrow\rangle$ ；假若本征值为 $-\hbar/2$ ，则量子态 $|\psi \rangle$ 会坍缩为量子态 $|\downarrow\rangle$ 。

动力学演化

在量子力学公设里，第二项直接提到量子系统的动力学演化，其遵守含时薛定谔方程，因此，量子态的演化在任意时刻可以被完全预测，具有连续性、命定性与可逆性。第四项提到，当对于量子系统作测量时，其量子态会坍缩至几个本征态中的一个本征态，具有不连续性、概率性与不可逆性。怎样调和这两种不同的行为，一种是关于量子态的自然演化，另一种是关于测量引发的演化，这仍旧是未解决的物理学问题

量子系统的动力学演化可以用不同的绘景来表现。通过重新定义，这些不同的绘景可以互相变换，它们实际上是等价的。假若要专注分析量子态怎样随着时间的流易而演化，时间演化算符怎样影响量子态，则可采用薛定谔绘景。假若要专注了解对应于可观察量的算符怎样随着时间的流易而演化、时间演化算符怎样影响这些算符，则可采用海森堡绘景。

主要论题

测量过程

量子力学与经典力学的一个主要区别，在于怎样理论论述测量过程。在经典力学里，一个物理系统的位置和动量，可以同时被无限精确地确定和预测。在理论上，测量过程对物理系统本身，并不会造成任何影响，并可以无限精确地进行。在量子力学中则不然，测量过程本身会对系统造成影响。

怎样才能正确地理论描述对于一个可观察量的测量？设定一个量子系统的量子态，首先，将量子态分解为该可观察量的一组本征态的线性组合。测量过程可以视为对于本征态的一个投影，测量结果是被投影的本征态的本征值。假设，按照某种程序制备出一个系综，在这系综里，每一个量子态都与这量子态相同，现在对于这系综里的每一个量子态都进行一次测量，则可以获得所有可能的测量值（本征值）的机率分布，每个测量值的概率等于量子态处于对应的本征态的概率幅的绝对值平方。

因此，假设对于两个不同的可观察量和做测量，改变测量顺序，例如从改变为，则可能直接影响测量结果。假若测量结果有所不同，则称这两个可观察量为不相容可观察量；否则，称这两个可观察量为相容可观察量。以数学术语表达，两个不相容可观察量和的对易算符不等于零： $[\hat{A},\hat{B}]\ \stackrel{def}{=}\ \hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}\ne 0$ 。

不确定性原理

不确定性原理表明，越能准确地设定粒子的位置，则越不能准确地设定粒子的动量，反之亦然，以方程表示为 $\Delta x \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}$ ；

其中， $\Delta x$ 、 $\Delta p$ 分别为位置、动量的不确定性。

设想一个定域性的波包，假设波包的尺寸为．从计数波包的周期数，可以知道其波数： $k=2\pi N/L$ 。

假若，计数的不确定性为 $\Delta N=1$ ，那么，波数的不确定性是 $\Delta k=2\pi /L$ 。

根据德布罗意假说， $P=\hbar k$ 。因此，动量的不确定性是 $\Delta P=\hbar \Delta k={\frac {h}{L}}$ 。

由于粒子位置的不确定性是 $\Delta X\approx L/2$ ，所以，这两个不相容可观察量的不确定性为 $\Delta P\Delta X\approx h/2$ 。

全同粒子

粒子具有很多种物理性质，例如质量、电荷、自旋等等。假若两个粒子具有不同的性质，则可以借着测量这些不同的性质来区分这两个粒子。根据许多实验获得的结果，同种类的粒子具有完全相同的性质，例如，宇宙里所有的电子都带有相等数量的电荷。因此，无法依靠物理性质来区分同种类的粒子，必须使用另一种区分法，即跟踪每一个粒子的轨道。只要能够无限精确地测量出每一个粒子的位置，就不会搞不清楚哪一个粒子在哪里。这个适用于经典力学的方法有一个问题，那就是它与量子力学的基本原理相矛盾。根据量子理论，在位置测量期间，粒子并不会保持明确的位置。粒子的位置具有概率性。随着时间的流易，几个粒子的量子态可能会移动蔓延，因此某些部分会互相重叠在一起。假若发生重叠事件，给每个粒子“挂上一个标签”的方法立刻就失去了意义，就无法区分在重叠区域的两个粒子。

全同粒子所呈现出的不可区分性，对量子态的对称性，以及多粒子系统的统计力学，有深远的影响。比如说，一个由全同粒子组成的多粒子系统量子态，在交换两个粒子“1”和粒子“2”时，可以证明，不是对称的 $(|\psi _{12} \rang = + |\psi _{21} \rang)$ ，就是反对称的 $(|\psi _{12} \rang = - |\psi _{21} \rang)$ 。具有对称性的粒子被称为玻色子，具有反对称性的粒子被称为费米子。此外自旋的对换也形成对称：自旋为半数的粒子（如电子、质子和中子）是反对称的，因此是费米子；自旋为整数的粒子（如光子）是对称的，因此是玻色子。

由于费米子系统具有反对称性，费米子遵守泡利不相容原理，即两个费米子无法占据同一状态。这个原理拥有极大的实用意义。它表明，在由原子组成的物质世界里，电子无法同时占据同一状态，因此在最低状态被占据后，下一个电子必须占据次低的状态，直到所有的状态均被满足为止。这个现象决定了物质的物理和化学特性。

费米子与玻色子的状态的热分布也相差很大：玻色子遵循玻色-爱因斯坦统计，而费米子则遵循费米-狄拉克统计。

量子纠缠

假设两个粒子在经过短暂时间彼此耦合之后，单独搅扰其中任意一个粒子，尽管两个粒子之间可能相隔很长一段距离，还是会不可避免地影响到另外一个粒子的性质，这种关联现象称为量子纠缠。往往由多个粒子组成的量子系统，其状态无法被分离为其组成的单个粒子的状态，在这种情况下，单个粒子的状态被称为是纠缠的。纠缠的粒子有惊人的特性，这些特性违背一般的直觉。比如说，对一个粒子的测量，可以导致整个系统的波泡利刻塌缩，因此也影响到另一个、遥远的、与被测量的粒子纠缠的粒子。这个现象并不违背狭义相对论，因为在量子力学的层面上，在测量粒子前，它们不能被单独各自定义，实际上它们仍是一个整体。不过在测量它们之后，它们就会脱离量子纠缠的状态。

量子退相干

作为一个基本理论，量子力学原则上，应该适用于任何大小的物理系统，也就是说不仅限于微观系统，那么，它应该提供一个过渡到宏观经典物理的方法。量子现象的存在提出了一个问题，即怎样从量子力学的观点，解释宏观系统的经典现象。尤其无法直接看出的是，量子力学中的量子叠加，在宏观世界怎样呈现出来。1954年，爱因斯坦在给马克斯·玻恩的信中，就提出了怎样从量子力学的角度，来解释宏观世界的物理现象的问题，他指出仅仅量子力学现象太“小”无法解释这个问题。^[这个问题的另一个例子是由薛定谔提出的薛定谔猫的思想实验。

后来，物理学者领会到，上述的思想实验，实际而言并不合乎现实，因为它们忽略了不可避免地与周围环境的相互作用，量子系统会因为这相互作用与环境关联在一起。处于叠加态的量子系统非常容易受周围环境的影响，而且随着时间流逝，这量子系统会与环境永无休止地越加深入纠缠，这现象称为“冯纽曼无穷链”（Von Neumann’s infinite chain）。在叠加态里，几个相互正交的量子态叠加在一起，彼此相干。量子退相干是一种过程，能够将量子系统的约化密度矩阵对角化，而相干性质就是表示于这约化密度矩阵的非对角元素，所以，叠加态的相干性质会快速消失，无法再被探测到，从而呈现出经典的统计性质。虽然量子系统的叠加态不再具有相干性质，整个量子系统与环境共同组成的联合态仍旧具有相干性质。

对于量子计算机来说，量子退相干也有实际意义。在一台量子计算机中，需要多个量子状态尽可能地长时间保持叠加。退相干时间短是一个非常大的技术问题，因为它会削弱量子叠加效应，但它也是一个必需的因素，因为储存在计算机内的数据必需经过量子测量被读出来。

与其它物理理论的关系

经典理论

量子力学的预测已被实验核对至极高准确度，是在科学领域中，最为准确的理论之一。对应原理实现经典力学与量子力学之间的对应关系，根据对应原理，假若量子系统已达到某“经典极限”，则其物理行为可以很精确地用经典理论来描述；这经典极限可以是大量子数极限，也可以是普朗克常数趋零极限。实际而言，许多宏观系统都是用经典理论（如经典力学和电磁学）来做精确描述。因此在非常“大”的系统中，量子力学的特性应该会逐渐与经典物理的特性相近似，两者必须相互符合。

对应原理对于建立一个有效的量子力学模型是很重要的辅助工具。量子力学的数学基础相当广泛宽松，它仅只要求量子系统的态矢量属于希尔伯特空间，其可观察量是线性的厄米算符，它并没有规定在实际情况下，应该选择哪一种希尔伯特空间、哪些厄米算符。因此，在实际情况下，必须选择相应的希尔伯特空间和算符来描写一个特定的量子系统。而对应原理则是做出这个选择的一个重要辅助工具。这个原理要求量子力学所做出的预言，在越来越大的系统中，逐渐近似经典理论的预言。这个大系统的极限，被称为“经典极限”或者“对应极限”。因此可以使用启发法的手段，来建立一个量子力学的模型，而这个模型的极限，就是相应的经典物理学的模型。

在经典系统与量子系统之间，量子相干是一种很明显可以用来区分的性质，具有量子相干性的电子、光子等等微观粒子可以处于量子叠加态，不具有量子相干性的棒球、老虎等等宏观系统不可以处于量子叠加态。量子退相干可以用来解释这些行为。一种应用这性质来区分的工具是贝尔不等式，遭到量子纠缠的系统不遵守贝尔不等式，而量子退相干能够将量子纠缠性质变换为经典统计性质，系统的物理行为因此可以用隐变数理论解释，不再不遵守贝尔不等式。简略而言，量子干涉是将几个量子态的量子幅总和在一起，而经典干涉则是将几个经典波动的波强总和在一起。对于微观物体，整个系统的延伸尺寸超小于相干长度，因此会产生长程量子纠缠与其它非定域现象，一些量子系统的特征行为。通常，量子相干不会出现于宏观系统。

狭义相对论

原本量子力学的表述所针对的模型，其对应极限为非相对论性经典力学。例如，众所皆知的量子谐振子模型使用了非相对论性表达式来表达其动能，因此，这模型是经典谐振子的量子版本。

早期，对于合并量子力学与狭义相对论的试图，涉及到使用协变方程，例如，克莱因-戈尔登方程或狄拉克方程，来取代薛定谔方程。这些方程虽然能够很成功地描述许多量子现象，但它们目有某些不满意的问题，它们无法描述在相对论性状况下，粒子的生成和湮灭。完整的相对论性量子理论需要量子场论的关键发展。量子场论能够将场量子化（而不是一组固定数量的粒子）。第一个量子场论是量子电动力学，它可以精确地描写电磁相互作用。量子电动力学其对于某些原子性质的理论预测，已被证实准确至10⁸分之一。

对于描述电磁系统，时常不需要使用到量子场论的全部功能。比较简单的方法，是将带电粒子当作处于经典电磁场中的量子力学物体。这个手段从量子力学的初期，就已经被使用了。比如说，氢原子的电子状态，可以近似地使用经典的 1/r 库仑势来计算。这就是所谓的半经典方法。但是，在电磁场中的量子起伏起一个重要作用的情况下（比如带电粒子发射一颗光子）这个近似方法就失效了

粒子物理学

专门描述强相互作用、弱相互作用的量子场论已发展成功。强相互作用的量子场论称为量子色动力学，这个理论描述亚原子粒子，例如夸克、胶子，它们彼此之间的相互作用。弱相互作用与电磁相互作用也被统一为单独量子场论，称为电弱相互作用。

广义相对论

量子引力是对引力场进行量子化描述的理论，属于万有理论之一。物理学者发觉，建造引力的量子模型是一件非常艰难的研究。半经典近似是一种可行方法，推导出一些很有意思的预测，例如，霍金辐射等等。可是，由于广义相对论（至今为止，最成功的引力理论）与量子力学的一些基础假说相互矛盾，表述出一个完整的量子引力理论遭到了严峻阻碍。尝试结合广义相对论与量子力学是热门研究方向，为当前的物理学尚未解决的问题。当前主流尝试理论有：超弦理论、循环量子引力理论等等。

量子力学的诠释

量子力学是经历最严格验证的物理理论之一。至今为止，尚未找到任何能够推翻量子力学的实验数据。大多数物理学者认为，“几乎”在所有情况下，它正确地描写能量和物质的物理性质。虽然如此，量子力学中，依然存在着概念上的弱点和缺陷，除前面所述关于万有引力的量子理论的缺乏以外，现今，对于量子力学的诠释依然存在着严重争议。

哥本哈根诠释仍旧是最为物理学者接受的对于量子力学的一种诠释。它的主要贡献者是尼尔斯·玻尔与沃纳·海森堡。根据这种诠释，量子力学的概率性论述不是一种暂时补丁，并且最终将会被一种命定性理论取代，它必须被视为一种最终抛弃经典因果论思维的动作。在这里，任何量子力学形式论的良好定义的应用必须将实验设置纳入考量，这是因为不同实验状况获得的结果所具有的互补性。

爱因斯坦很不满意这种非命定性的论述。他认为量子力学不具有完备性，他提出一系列反驳论述，其中最著名的就是爱因斯坦-波多尔斯基-罗森佯谬。这佯谬建立于定域实在论。假设局区域实在论成立，则量子力学不具有完备性。接近三十年以后，约翰·贝尔发布论文表示，对于这个佯谬稍加理论延伸，就会导致对于量子力学与定域实在论出现不同的预言，因此可以做实验检试量子世界到底与哪种预言一致。为此，完成了很多相关实验，这些实验确定量子力学的预言正确无误，定域实在论无法描述量子世界。

休·艾弗雷特三世提出的多世界诠释认为，量子理论所做出的可能性的预言，全部会同步实现，这些现实成为彼此之间毫无关联的平行宇宙。在这种诠释里，波函数不塌缩，它的发展是决定性的。但是由于只身观察者无法存在于所有的平行宇宙里，只能观察在身处的宇宙内发生的事件，而无法观察到其它平行宇宙内发生的事件。这种诠释不需要特殊处理测量动作。在这理论里，薛定谔方程无论何处无论何时都成立。对于任何测量动作，必须将整个系统，测量仪器与被测量物体，全部纳入薛定谔方程的运算。测量仪器与被测量物体所有可能的量子态都存在于一种真实的量子叠加，形成了纠缠态。虽然平行宇宙具有命定性，观察者意识到由概率主导的非命定行为，因为观察者只能观察到自身所在的宇宙。多世界诠释能够透过贝尔的检试实验。

戴维·玻姆提出了一种非定域性的隐变量理论，称为导航波理论。在这种诠释里，波函数被理解为粒子的一个导航波。从结果上，这个理论预言的实验结果，与非相对论哥本哈根诠释的预言完全一样，因此，使用实验手段无法鉴别这两个解释。虽然这个理论的预言是命定性的，但是由于不确定原理无法推测出隐变量的精确状态，其结果跟哥本哈根诠释的结果一样，使用导航波理论来解释，实验的结果具有概率性。至今为止，还不能确定这个解释是否能够扩展到相对论量子力学上去。路易·德布罗意和其他人也提出过类似的隐变量解释。

应用

在许多现代技术装备中，量子效应起了重要的作用，例如，激光的工作机制是爱因斯坦提出的受激发射、电子显微镜利用电子的波粒二象性来增加分辨率、原子钟使用束缚于原子的电子从一个能级跃迁至另一个能级时所发射出的微波信号的频率来计算与维持时间的准确性、核磁共振成像倚赖核磁共振机制来探测物体内部的结构。对半导体的研究导致了二极管和三极管的发明，这些都是现代电子系统与电子器件不可或缺的元件。

量子计算机

相比于晶体管等电子器件，量子计算机的研制则更为前沿。在一些特定算法下，量子计算机的速度会比经典架构的计算机快成千上万倍（比如量子退火算法）。经典计算机使用0和1作为比特，而量子计算机则使用量子位作为基本单位。量子位由不同的电子态叠加形成。

宇宙学

量子力学能够用来解释很多奇异的宇宙现象，例如，宇宙微波背景的频谱可以用普朗克黑体辐射定律来解释。宇宙微波背景证实了大爆炸理论的正确无误，自此，稳态理论开始式微。从宇宙微波背景可以推论，早期宇宙非常炙热、对于电磁辐射不透明、具有均质性与各向同性，是标准的黑体。

在恒星的生命终点，当所有核燃料都已用尽，恒星会开始引力坍缩的过程，最终可能变为白矮星、中子星或黑洞。这是因为泡利不相容原理的作用。由于电子遵守泡利不相容原理，因此在坍缩时，假若电子简并压强能够克服引力，就会形成白矮星，否则会继续坍缩，由于中子也遵守泡利不相容原理，这时假若中子简并压强能够克服引力，则会形成中子星，否则就会坍缩成黑洞。

化学

任何物质的化学性质，均是由其原子或分子的电子结构所决定的。通过解析包括了所有相关的原子核和电子的多粒子薛定谔方程，可以计算出该原子或分子的电子结构。在实践中，人们认识到，要计算这样的方程实在太复杂，对于许多案例，必需使用简化的模型，找到可行的数学计算方法，才能够找到近似的电子结构，从而确定物质的化学性质。实际上，量子电动力学是化学的基础原理。

量子力学可以详细描述原子的电子结构与化学性质。对于只拥有一个束缚电子的氢原子，薛定谔方程有解析解，可以计算出相关的能级与氢原子轨域，而且能级符合氢原子光谱实验的数据，从每一种氢原子轨域可以得到对应的电子概率分布。对于其它种原子（多电子原子），薛定谔方程没有解析解，只能得到近似解，可以计算出近似氢原子轨域的哈特里原子轨域，形状相同，但尺寸与能级模式不一样。使用哈特里原子轨域，可以解释原子的电子结构与化学性质，周期表的元素排列。

量子力学能够解释，在分子里的束缚电子怎样将分子内部的原子捆绑在一起。对于最为简单，只拥有一个束缚电子的氢分子离子H₂⁺，应用玻恩–奥本海默近似（两个原子核固定不动），薛定谔方程有解析解，可以计算出它的分子轨域。但是对于其它更为复杂的分子，薛定谔方程没有解析解，只能得到近似解，只能计算出近似的分子轨域。理论化学中的分支，量子化学和计算化学，专注于使用近似的薛定谔方程，来计算复杂的分子的结构及其化学性质。

信息学

目前的研究聚焦于找到可靠与能够直接处理量子态的方法。量子系统拥有一种特性，即对于量子数据的测量会不可避免地改变数据，这种特性可以用来侦测出任何窃听动作。倚赖这特性，量子密码学能够保证通信安全性，使得通信双方能够产生并分享一个随机的，安全的密钥，来加密和解密信息。比较遥远的目标是发展出量子电脑。由于量子态具有量子叠加的特性，理论而言，量子电脑可以达成高度并行计算，其计算速度有可能以指数函数快过普通电脑。另外，应用量子纠缠特性与经典通讯理论，量子遥传能够将物体的量子态从某个位置传送至另一个位置。这是正在积极进行的一门学术领域。

参考

矩阵力学

是量子力学其中一种的表述形式，它是由海森堡、玻恩和约尔当（P. Jordan）于1925年完成的。矩阵力学的思想出发点是针对玻尔模型中许多观点，诸如电子的轨道、频率等，都不是可以直接观察的。反之，在实验中经常接触到的是光谱线的频率、强度、偏极化，以及能级。海森堡计划创造一个理论，只是用光谱线的频率、强度、偏极化等观念。

薛定谔方程

1933年，因为“发现了在原子理论里很有用的新形式”，薛定谔和英国物理学家保罗·狄拉克共同获得了诺贝尔物理学奖，以表彰他们发现了薛定谔方程和狄拉克方程。

在经典力学里，人们使用牛顿第二定律描述物体运动。而在量子力学里，类似的运动方程为薛定谔方程。在量子力学中，薛定谔方程（Schrödinger equation）是描述物理系统的量子态怎样随时间演化的偏微分方程，为量子力学的基础方程之一，其以发表者奥地利物理学家埃尔温·薛定谔而命名。关于量子态与薛定谔方程的概念涵盖于基础量子力学假说里，无法从其它任何原理推导而出。

薛定谔方程的解完备地描述物理系统里，微观尺寸粒子的量子行为；这包括分子系统、原子系统、亚原子系统；另外，薛定谔方程的解还可完备地描述宏观系统，可能乃至整个宇宙。

薛定谔方程可以分为“含时薛定谔方程”与“不含时薛定谔方程”两种。含时薛定谔方程与时间有关，描述量子系统的波函数怎样随着时间而演化。不含时薛定谔方程则与时间无关，描述了定态量子系统的物理性质；该方程的解就是定态量子系统的波函数。量子事件发生的概率可以用波函数来计算，其概率幅的绝对值平方就是量子事件发生的概率密度。

薛定谔方程所属的波动力学可以数学变换为维尔纳·海森堡的矩阵力学，或理察·费曼的路径积分表述。薛定谔方程是个非相对论性方程，不适用于相对论性理论；对于相对论性微观系统，必须改使用狄拉克方程或克莱因-戈尔登方程等。

薛定谔方程的数学形式

含时薛定谔方程描述物理系统随时间演化，其最广义形式为： $\hat H \Psi=i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi$ ；

其中， $\hat{H}$ 是表征波函数总能量的哈密顿算符， $\Psi$ 是物理系统的波函数，是虚数单位， $\hbar$ 是约化普朗克常数， $\partial/\partial t$ 是对于时间的偏微分。图为波函数在某一时刻的实部，横轴是位置坐标轴。该波函数描述粒子移动于自由空间的物理行为。该波函数满足势函数为零的薛定谔方程。点击这里即可观看这波函数的实部随时间演化的动画。

在三维空间里，移动于位势 $V(\mathbf {r} ,t)$ 的单独粒子，其含时薛定谔方程可以更具体地表示为 $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} ,t)\Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)$ ；

其中，是质量， $\Psi(\mathbf{r},t)$ 是参数为位置} $\mathbf {r}$ 、时间的波函数， $\nabla^2$ 是拉普拉斯算符。

术语“薛定谔方程”可以指广义形式的薛定谔方程，也可指具体形式的薛定谔方程。广义形式的薛定谔方程名如其实，可以应用于广泛量子力学领域，表达从狄拉克方程到量子场论的各种方程，只要将哈密顿算符的各种复杂表达式代入即可。通常，具体形式的薛定谔方程所描述的系统是实际系统的简化近似模型，这是为了要避开不必要的复杂数学运算。对于大多数案例，所得到的结果相当准确；但是对于相对论性案例，结果则并不令人满意。对于更详尽的细节，请参阅相对论性量子力学。

应用薛定谔方程时，必须先给出哈密顿算符的表达式，因此会涉及到计算系统的动能与势能；将算符表达式代入薛定谔方程，再将所得偏微分方程加以解析，即可找到波函数。关于系统的量子态的信息，全部都会包含在波函数中。

由含时薛定谔方程到不含时薛定谔方程

含时薛定谔方程 $\Psi(\mathbf{r},t)$ 为偏微分方程，假定位势与时间无关： $- \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi(\mathbf{r},t)+V(\mathbf{r})\Psi(\mathbf{r},t) =i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r},t)$ 。

使用分离变量法，令 $\Psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )\varphi (t)$ ，方程变为 $i\hbar {\frac {1}{\varphi (t)}}{\frac {d\varphi (t)}{dt}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {1}{\psi (\mathbf {r} )}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} )+V(\mathbf {r} )$ 。

注意到等号左手边是时间的函数，而右手边则是位置的函数，所以两边都等于常数： $i\hbar {\frac {1}{\varphi }}{\frac {d\varphi }{dt}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {1}{\psi }}\nabla ^{2}\psi +V=E$ 。

左手边的方程 $i\hbar {\frac {1}{\varphi (t)}}{\frac {d\varphi (t)}{dt}}=E$ 的解为 $\varphi (t)=e^{\frac {-iEt}{\hbar }}$ 。

右手边的方程可转化为不含时薛定谔方程： $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} )+V(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} )=E\psi (\mathbf {r} )$ 。

不含时薛定谔方程也可写为 $\hat H \psi=E\psi$ ；

其中， ${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )$ 是哈密顿算符。

不含时薛定谔方程

不含时薛定谔方程与时间无关，它预言波函数可以形成驻波，称为定态（在原子物理学里，又称为轨道，例如，原子轨道或分子轨道），假若能够计算出这些定态，分析出其量子行为，则解析含时薛定谔方程会变得更为简易。不含时薛定谔方程为描述定态的方程。只有当哈密顿量不与时间显性相关，才会使用这方程。广义形式的不含时薛定谔方程为 $\hat H \psi=E\psi$ ；

其中， $\psi$ 是不含时波函数，是能量。

这方程的诠释为，假若将哈密顿算符作用于波函数 $\psi$ 时，得到的结果与同样波函数 $\psi$ 成正比，则波函数 $\psi$ 处于定态，比例常数是量子态 $\psi$ 的能量。在这里， $\psi$ 标记设定的波函数和其对应的量子态。这方程为又称为“定态薛定谔方程”，引用线性代数术语，这方程为“能量本征薛定谔方程”，是“能量本征值”，或“本征能量”。

在三维空间里，处于位势 $V(\mathbf{r})$ 的单独粒子，其不含时薛定谔方程可以更具体地表示为 $- \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi(\mathbf{r})+V(\mathbf{r})\psi(\mathbf{r}) =E\psi(\mathbf{r})$ 。

薛定谔给出的薛定谔方程能够正确地描述波函数的量子行为。在那时，物理学者尚不清楚如何诠释波函数，薛定谔试图以电荷密度来诠释波函数的绝对值平方，但并不成功。1926年，玻恩提出概率幅的概念，成功地诠释了波函数的物理意义。但是薛定谔与爱因斯坦观点相同，都不赞同这种统计或概率方法，以及它所伴随的非连续性波函数坍缩。爱因斯坦主张，量子力学是个决定性理论的统计近似。在薛定谔有生的最后一年，写给玻恩的一封信中，他清楚地表示他不接受哥本哈根诠释。

含时薛定谔方程导引

启发式导引 1

含时薛定谔方程的启发式导引建立于几个前提：

粒子的总能量可以经典地表示为动能与势能的总和：

$E =T+V=\frac{p^2}{2m}+V$ ；其中，是动量，是质量。特别注意，能量与动量也出现于下述两个关系式。

爱因斯坦于提出光电效应时，指出光子的能量与对应的电磁波的频率成正比：

$E = h f=\hbar \omega$ 其中，是普朗克常数， $\omega = 2\pi f$ 是角频率。

德布罗意提出的德布罗意假说表明，每一种微观粒子都具有波粒二象性，都是一种波动。微观粒子的动量与伴随的物质波波长 $\lambda$ 有关：

$p=h / \lambda=\hbar k$ ；其中， $k = 2\pi / \lambda$ 是波数。延伸至矢量， $\mathbf{p}=\hbar \mathbf{k}$ 。

假设波函数是个复值平面波： $\Psi(x,t) = Ae^{i(kx - \omega t)}$ ，

则其对于时间的偏导数为 $\frac{\partial}{\partial t} \Psi = - i\omega \Psi$ 。

这偏导数与能量有关： $E \Psi = \hbar \omega \Psi = i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi$ 。

类似地，波函数对于位置的二次偏导数为 $\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi=-k^2\Psi$ ，

这偏导数与动量有关： $p^2 \Psi = \hbar^2 k^2 \Psi = - \hbar^2\frac{\partial^2}{\partial x^2} \Psi$ 。

引用经典力学的能量守恒定律，单独粒子的总能量为 $E=\frac{p^2}{2m}+V$ 。

因此，单独粒子移动于一维位势 V(x) 的薛定谔方程为 $- \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi+ V(x)\Psi=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi$ 。

设定哈密顿函数 ${\hat {H}}$ 为 $\hat{H}= - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+ V(x)$ ,

就可以得到广义形式的薛定谔方程： $\hat{H}\Psi= i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi$ 。

启发式导引 2

“哈密顿类比”是威廉·哈密顿在研究经典力学时给出的理论，又称为“光学-力学类比”；哈密顿指出，在经典力学里粒子的运动轨道，就如同在几何光学里光线的传播路径；垂直于这轨道的等作用量曲面，就如同垂直于路径的等传播时间曲面；描述粒子运动的最小作用量原理，就如同描述光线传播的费马原理。哈密顿发现，使用哈密顿-雅可比方程，可以推导出最小作用量原理与费马原理；同样的形式论，可以描述光的物理行为，不论光是由遵守费马原理的光线组成，还是由遵守最小作用量原理的粒子组成。^[17]

很多光的性质，例如，衍射、干涉等等，无法用几何光学的理论来作解释，必须要用到波动光学的理论来证实。这意味着几何光学不等价于波动光学，几何光学是波动光学的波长超短于粒子轨道曲率半径的极限案例。哈密顿又研究发现，使用哈密顿-雅可比方程也可以描述波动光学里遵守惠更斯原理的光波，只要将光线的等传播时间曲面改为光波的波前。薛定谔寻思，经典力学与量子力学之间的关系，就如同几何光学与波动光学之间的关系；哈密顿-雅可比方程应该对应于量子力学的波动方程在某种极限的案例，而这极限应该也是物质波波长超短于粒子轨道曲率半径的极限（或按照对应原理，普朗克常数趋于0的极限）；按照先前哈密顿类比的模式，依样画葫芦，应该可以找到正确形式的波动方程。这想法很正确，经过一番努力，他成功地推导出薛定谔方程。^[17]^[1]

假设一个粒子移动于显不含时位势 $V(\mathbf{r})$ ，它的哈密顿-雅可比方程为 $\frac{1}{2m} \left( \boldsymbol\nabla S \right)^{2} + V + \frac{\partial S}{\partial t} = 0$ ；

其中， $S(\mathbf{r},\boldsymbol{a};t)$ 是哈密顿主函数， $\boldsymbol{a}$ 是运动常数矢量。

由于位势显性不含时，哈密顿主函数可以分离成两部分： $S = W(\mathbf{r},\boldsymbol{ a}) - Et$ ；

其中，显性不含时的函数 $W(\mathbf{r},\boldsymbol{a})$ 是哈密顿特征函数，是能量。

将哈密顿主函数公式代入粒子的哈密顿-雅可比方程，稍加运算，可以得到 $|\boldsymbol{\nabla} S|= \sqrt{2m(E-V)}$ ；

哈密顿主函数对于时间的全导数是 $\frac{dS}{dt}=\frac{\partial S}{\partial t} +\nabla S\cdot\frac{d\mathbf{r}}{dt}$ 。

哈密顿主函数的常数等值曲面 $\sigma_0$ 在空间移动的方程为 $0=\frac{\partial S}{\partial t} +\nabla S\cdot\frac{d\mathbf{r}}{dt}= - E +\nabla S\cdot\frac{d\mathbf{r}}{dt}$ 。

所以，在设定等值曲面的正负面之后， $\sigma_0$ 朝着法线方向移动的速度是 $u=\frac{dr}{dt}=\frac{E}{|\nabla S|}=\frac{E}{ \sqrt{2m(E - V)}}$ 。

这速度是相速度，而不是粒子的移动速度： $v=\frac{|\boldsymbol{\nabla} S|}{m}=\sqrt{\frac{2(E - V)}{m}}$ 。

试想 $\sigma_0$ 为一个相位曲面。既然粒子具有波粒二象性，假设粒子的波函数所拥有的相位与成正比： $\Psi(\mathbf{r},t)=A(\mathbf{r})e^{iS/\kappa}$ ；

其中， $\kappa$ 是常数， $A(\mathbf{r})$ 是参数为位置的系数函数。

将哈密顿主函数的公式代入 $\Psi(\mathbf{r},t)$ 波函数， $\Psi(\mathbf{r},t)=A(\mathbf{r})e^{i(W - Et)/\kappa}$ 。

注意到 $E/\kappa$ 的量纲必须是频率，薛定谔灵机一动，想到爱因斯坦的光电效应理论 $E=\hbar \omega$ ；其中， $\hbar$ 是约化普朗克常数， $\omega$ 是角频率。他尝试设定 $\kappa=\hbar$ ，粒子的波函数 $\Psi$ 变为 $\Psi(\mathbf{r},t)=A(\mathbf{r})e^{i(W - Et)/\hbar}=\psi(\mathbf{r})e^{ - iEt/\hbar}$ ；

其中， $\psi(\mathbf{r})=A(\mathbf{r})e^{iW(\mathbf{r})/\hbar}$ 。

$\Psi(\mathbf{r},t)$ 的波动方程为 $\nabla^2 \Psi - \frac{1}{u^2}\frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2}=0$ 。

将 $\Psi(\mathbf{r},t)$ 波函数代入波动方程，经过一番运算，可以得到 $\nabla^2 \Psi + \frac{E^2}{\hbar^2u^2}\Psi=\nabla^2 \Psi + \frac{2m(E - V)}{\hbar^2}\Psi=0$ 。

注意到 $E\Psi=i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t}$ 。稍加编排，即可推导出含时薛定谔方程： $- \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi(\mathbf{r},t) +V\Psi(\mathbf{r},t)=i\hbar\frac{\partial \Psi(\mathbf{r},t)}{\partial t}$ 。