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薛定谔方程（Schrödinger equation）

1933年，因为“发现了在原子理论里很有用的新形式”，薛定谔和英国物理学家保罗·狄拉克共同获得了诺贝尔物理学奖，以表彰他们发现了薛定谔方程和狄拉克方程。

在经典力学里，人们使用牛顿第二定律描述物体运动。而在量子力学里，类似的运动方程为薛定谔方程。在量子力学中，薛定谔方程（Schrödinger equation）是描述物理系统的量子态怎样随时间演化的偏微分方程，为量子力学的基础方程之一，其以发表者奥地利物理学家埃尔温·薛定谔而命名。关于量子态与薛定谔方程的概念涵盖于基础量子力学假说里，无法从其它任何原理推导而出。

薛定谔方程的解完备地描述物理系统里，微观尺寸粒子的量子行为；这包括分子系统、原子系统、亚原子系统；另外，薛定谔方程的解还可完备地描述宏观系统，可能乃至整个宇宙。

薛定谔方程可以分为“含时薛定谔方程”与“不含时薛定谔方程”两种。含时薛定谔方程与时间有关，描述量子系统的波函数怎样随着时间而演化。不含时薛定谔方程则与时间无关，描述了定态量子系统的物理性质；该方程的解就是定态量子系统的波函数。量子事件发生的概率可以用波函数来计算，其概率幅的绝对值平方就是量子事件发生的概率密度。

薛定谔方程所属的波动力学可以数学变换为维尔纳·海森堡的矩阵力学，或理察·费曼的路径积分表述。薛定谔方程是个非相对论性方程，不适用于相对论性理论；对于相对论性微观系统，必须改使用狄拉克方程或克莱因-戈尔登方程等。

薛定谔方程的数学形式

含时薛定谔方程描述物理系统随时间演化，其最广义形式为： $\hat H \Psi=i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi$ ；

其中， $\hat{H}$ 是表征波函数总能量的哈密顿算符， $\Psi$ 是物理系统的波函数， $i$ 是虚数单位， $\hbar$ 是约化普朗克常数， $\partial/\partial t$ 是对于时间 $t$ 的偏微分。图为波函数在某一时刻的实部，横轴是位置坐标轴。该波函数描述粒子移动于自由空间的物理行为。该波函数满足势函数 $V$ 为零的薛定谔方程。点击这里即可观看这波函数的实部随时间演化的动画。

在三维空间里，移动于位势 $V(\mathbf {r} ,t)$ 的单独粒子，其含时薛定谔方程可以更具体地表示为 $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} ,t)+V(\mathbf {r} ,t)\Psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)$ ；

其中， $m$ 是质量， $\Psi(\mathbf{r},t)$ 是参数为位置} $\mathbf {r}$ 、时间 $t$ 的波函数， $\nabla^2$ 是拉普拉斯算符。

术语“薛定谔方程”可以指广义形式的薛定谔方程，也可指具体形式的薛定谔方程。广义形式的薛定谔方程名如其实，可以应用于广泛量子力学领域，表达从狄拉克方程到量子场论的各种方程，只要将哈密顿算符的各种复杂表达式代入即可。通常，具体形式的薛定谔方程所描述的系统是实际系统的简化近似模型，这是为了要避开不必要的复杂数学运算。对于大多数案例，所得到的结果相当准确；但是对于相对论性案例，结果则并不令人满意。对于更详尽的细节，请参阅相对论性量子力学。

应用薛定谔方程时，必须先给出哈密顿算符的表达式，因此会涉及到计算系统的动能与势能；将算符表达式代入薛定谔方程，再将所得偏微分方程加以解析，即可找到波函数。关于系统的量子态的信息，全部都会包含在波函数中。

由含时薛定谔方程到不含时薛定谔方程

含时薛定谔方程 $\Psi(\mathbf{r},t)$ 为偏微分方程，假定位势与时间无关： $- \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi(\mathbf{r},t)+V(\mathbf{r})\Psi(\mathbf{r},t) =i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r},t)$ 。

使用分离变量法，令 $\Psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} )\varphi (t)$ ，方程变为 $i\hbar {\frac {1}{\varphi (t)}}{\frac {d\varphi (t)}{dt}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {1}{\psi (\mathbf {r} )}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} )+V(\mathbf {r} )$ 。

注意到等号左手边是时间的函数，而右手边则是位置的函数，所以两边都等于常数 $E$ ： $i\hbar {\frac {1}{\varphi }}{\frac {d\varphi }{dt}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {1}{\psi }}\nabla ^{2}\psi +V=E$ 。

左手边的方程 $i\hbar {\frac {1}{\varphi (t)}}{\frac {d\varphi (t)}{dt}}=E$ 的解为 $\varphi (t)=e^{\frac {-iEt}{\hbar }}$ 。

右手边的方程可转化为不含时薛定谔方程： $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi (\mathbf {r} )+V(\mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} )=E\psi (\mathbf {r} )$ 。

不含时薛定谔方程也可写为 $\hat H \psi=E\psi$ ；

其中， ${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )$ 是哈密顿算符。

不含时薛定谔方程

不含时薛定谔方程与时间无关，它预言波函数可以形成驻波，称为定态（在原子物理学里，又称为轨道，例如，原子轨道或分子轨道），假若能够计算出这些定态，分析出其量子行为，则解析含时薛定谔方程会变得更为简易。不含时薛定谔方程为描述定态的方程。只有当哈密顿量不与时间显性相关，才会使用这方程。广义形式的不含时薛定谔方程为 $\hat H \psi=E\psi$ ；

其中， $\psi$ 是不含时波函数， $E$ 是能量。

这方程的诠释为，假若将哈密顿算符作用于波函数 $\psi$ 时，得到的结果与同样波函数 $\psi$ 成正比，则波函数 $\psi$ 处于定态，比例常数 $E$ 是量子态 $\psi$ 的能量。在这里， $\psi$ 标记设定的波函数和其对应的量子态。这方程为又称为“定态薛定谔方程”，引用线性代数术语，这方程为“能量本征薛定谔方程”， $E$ 是“能量本征值”，或“本征能量”。

在三维空间里，处于位势 $V(\mathbf{r})$ 的单独粒子，其不含时薛定谔方程可以更具体地表示为 $- \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi(\mathbf{r})+V(\mathbf{r})\psi(\mathbf{r}) =E\psi(\mathbf{r})$ 。

薛定谔给出的薛定谔方程能够正确地描述波函数的量子行为。在那时，物理学者尚不清楚如何诠释波函数，薛定谔试图以电荷密度来诠释波函数的绝对值平方，但并不成功。1926年，玻恩提出概率幅的概念，成功地诠释了波函数的物理意义。但是薛定谔与爱因斯坦观点相同，都不赞同这种统计或概率方法，以及它所伴随的非连续性波函数坍缩。爱因斯坦主张，量子力学是个决定性理论的统计近似。在薛定谔有生的最后一年，写给玻恩的一封信中，他清楚地表示他不接受哥本哈根诠释。

含时薛定谔方程导引

启发式导引 1

含时薛定谔方程的启发式导引建立于几个前提：

粒子的总能量 $E$ 可以经典地表示为动能 $T$ 与势能 $V$ 的总和：

$E =T+V=\frac{p^2}{2m}+V$ ；其中， $p$ 是动量， $m$ 是质量。特别注意，能量 $E$ 与动量 $p$ 也出现于下述两个关系式。

爱因斯坦于提出光电效应时，指出光子的能量 $E$ 与对应的电磁波的频率 $f$ 成正比：

$E = h f=\hbar \omega$ 其中， $h$ 是普朗克常数， $\omega = 2\pi f$ 是角频率。

德布罗意提出的德布罗意假说表明，每一种微观粒子都具有波粒二象性，都是一种波动。微观粒子的动量 $p$ 与伴随的物质波波长 $\lambda$ 有关：

$p=h / \lambda=\hbar k$ ；其中， $k = 2\pi / \lambda$ 是波数。延伸至矢量， $\mathbf{p}=\hbar \mathbf{k}$ 。

假设波函数是个复值平面波： $\Psi(x,t) = Ae^{i(kx - \omega t)}$ ，

则其对于时间的偏导数为 $\frac{\partial}{\partial t} \Psi = - i\omega \Psi$ 。

这偏导数与能量有关： $E \Psi = \hbar \omega \Psi = i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi$ 。

类似地，波函数对于位置的二次偏导数为 $\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi=-k^2\Psi$ ，

这偏导数与动量有关： $p^2 \Psi = \hbar^2 k^2 \Psi = - \hbar^2\frac{\partial^2}{\partial x^2} \Psi$ 。

引用经典力学的能量守恒定律，单独粒子的总能量 $E$ 为 $E=\frac{p^2}{2m}+V$ 。

因此，单独粒子移动于一维位势 $V(x)$ 的薛定谔方程为 $- \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi+ V(x)\Psi=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi$ 。

设定哈密顿函数 ${\hat {H}}$ 为 $\hat{H}= - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}+ V(x)$ ,

就可以得到广义形式的薛定谔方程： $\hat{H}\Psi= i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi$ 。

启发式导引 2

“哈密顿类比”是威廉·哈密顿在研究经典力学时给出的理论，又称为“光学-力学类比”；哈密顿指出，在经典力学里粒子的运动轨道，就如同在几何光学里光线的传播路径；垂直于这轨道的等作用量曲面，就如同垂直于路径的等传播时间曲面；描述粒子运动的最小作用量原理，就如同描述光线传播的费马原理。哈密顿发现，使用哈密顿-雅可比方程，可以推导出最小作用量原理与费马原理；同样的形式论，可以描述光的物理行为，不论光是由遵守费马原理的光线组成，还是由遵守最小作用量原理的粒子组成。

很多光的性质，例如，衍射、干涉等等，无法用几何光学的理论来作解释，必须要用到波动光学的理论来证实。这意味着几何光学不等价于波动光学，几何光学是波动光学的波长超短于粒子轨道曲率半径的极限案例。哈密顿又研究发现，使用哈密顿-雅可比方程也可以描述波动光学里遵守惠更斯原理的光波，只要将光线的等传播时间曲面改为光波的波前。薛定谔寻思，经典力学与量子力学之间的关系，就如同几何光学与波动光学之间的关系；哈密顿-雅可比方程应该对应于量子力学的波动方程在某种极限的案例，而这极限应该也是物质波波长超短于粒子轨道曲率半径的极限（或按照对应原理，普朗克常数趋于0的极限）；按照先前哈密顿类比的模式，依样画葫芦，应该可以找到正确形式的波动方程。这想法很正确，经过一番努力，他成功地推导出薛定谔方程。

假设一个粒子移动于显不含时位势 $V(\mathbf{r})$ ，它的哈密顿-雅可比方程为 $\frac{1}{2m} \left( \boldsymbol\nabla S \right)^{2} + V + \frac{\partial S}{\partial t} = 0$ ；

其中， $S(\mathbf{r},\boldsymbol{a};t)$ 是哈密顿主函数， $\boldsymbol{a}$ 是运动常数矢量。

由于位势显性不含时，哈密顿主函数可以分离成两部分： $S = W(\mathbf{r},\boldsymbol{ a}) - Et$ ；

其中，显性不含时的函数 $W(\mathbf{r},\boldsymbol{a})$ 是哈密顿特征函数， $E$ 是能量。

将哈密顿主函数公式代入粒子的哈密顿-雅可比方程，稍加运算，可以得到 $|\boldsymbol{\nabla} S|= \sqrt{2m(E-V)}$ ；

哈密顿主函数对于时间的全导数是 $\frac{dS}{dt}=\frac{\partial S}{\partial t} +\nabla S\cdot\frac{d\mathbf{r}}{dt}$ 。

哈密顿主函数 $S$ 的常数等值曲面 $\sigma_0$ 在空间移动的方程为 $0=\frac{\partial S}{\partial t} +\nabla S\cdot\frac{d\mathbf{r}}{dt}= - E +\nabla S\cdot\frac{d\mathbf{r}}{dt}$ 。

所以，在设定等值曲面的正负面之后， $\sigma_0$ 朝着法线方向移动的速度 $u$ 是 $u=\frac{dr}{dt}=\frac{E}{|\nabla S|}=\frac{E}{ \sqrt{2m(E - V)}}$ 。

这速度 $u$ 是相速度，而不是粒子的移动速度 $v$ ： $v=\frac{|\boldsymbol{\nabla} S|}{m}=\sqrt{\frac{2(E - V)}{m}}$ 。

试想 $\sigma_0$ 为一个相位曲面。既然粒子具有波粒二象性，假设粒子的波函数所拥有的相位与 $S$ 成正比： $\Psi(\mathbf{r},t)=A(\mathbf{r})e^{iS/\kappa}$ ；

其中， $\kappa$ 是常数， $A(\mathbf{r})$ 是参数为位置的系数函数。

将哈密顿主函数的公式代入 $\Psi(\mathbf{r},t)$ 波函数， $\Psi(\mathbf{r},t)=A(\mathbf{r})e^{i(W - Et)/\kappa}$ 。

注意到 $E/\kappa$ 的量纲必须是频率，薛定谔灵机一动，想到爱因斯坦的光电效应理论 $E=\hbar \omega$ ；其中， $\hbar$ 是约化普朗克常数， $\omega$ 是角频率。他尝试设定 $\kappa=\hbar$ ，粒子的波函数 $\Psi$ 变为 $\Psi(\mathbf{r},t)=A(\mathbf{r})e^{i(W - Et)/\hbar}=\psi(\mathbf{r})e^{ - iEt/\hbar}$ ；

其中， $\psi(\mathbf{r})=A(\mathbf{r})e^{iW(\mathbf{r})/\hbar}$ 。

$\Psi(\mathbf{r},t)$ 的波动方程为 $\nabla^2 \Psi - \frac{1}{u^2}\frac{\partial^2 \Psi}{\partial t^2}=0$ 。

将 $\Psi(\mathbf{r},t)$ 波函数代入波动方程，经过一番运算，可以得到 $\nabla^2 \Psi + \frac{E^2}{\hbar^2u^2}\Psi=\nabla^2 \Psi + \frac{2m(E - V)}{\hbar^2}\Psi=0$ 。

注意到 $E\Psi=i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t}$ 。稍加编排，即可推导出含时薛定谔方程： $- \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi(\mathbf{r},t) +V\Psi(\mathbf{r},t)=i\hbar\frac{\partial \Psi(\mathbf{r},t)}{\partial t}$ 。

不含时薛定谔方程导引

不含时薛定谔方程与时间无关，又称为“能量本征薛定谔方程”或“定态薛定谔方程”，可以用来计算粒子的本征能量和其它相关的量子性质。应用分离变数法，猜想 $\Psi(x,t)= \psi_E(x) e^{ - iEt/\hbar}$ ；

其中， $E$ 是分离常数，稍后，会推论出 $E$ 就是能量， $\psi_E(x)$ 是对应于 $E$ 的函数。

将这猜想解代入含时薛定谔方程，经过一番运算，可以推导出一维不含时薛定谔方程 $- \frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\psi_E(x)+V(x)\psi_E(x)=E\psi_E(x)$ 。

类似地，可以推导出三维不含时薛定谔方程 $- \frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi_E(\mathbf{r}) + V(\mathbf{r})\psi_E(\mathbf{r})=E\psi_E(\mathbf{r})$ 。

物理意义

薛定谔方程和它的解在物理学造成突破性的思维发展。薛定谔方程是一种崭新的方程，关于它的解析引导出很多不同寻常、料想未及的后果。

统计诠释

在经典力学里，运动于空间的粒子在任何时刻，都具有确定的位置与动量。这些物理量按照牛顿运动定律进行决定性的演化。在量子力学里，粒子并不具有确定的位置与动量，对于这些物理量进行测量，会得到遵守粒子运动的概率分布的随机结果。

从含时薛定谔方程可以计算出粒子的波函数。按照广义统计诠释，由波函数 $\Psi (x,t)$ ，可以计算出粒子运动的概率分布 $P(x,t)$ ： $P(x,t)=\Psi^*(x,t)\Psi(x,t)$ 。

因此，可以预测在某时刻，粒子处于某区域的概率。薛定谔方程描述粒子的波函数怎样随着时间流易而产生决定性演化。尽管可以计算出波函数的完整形式，也可以计算出粒子运动的概率分布，但薛定谔方程无法准确地预测粒子在哪个时刻会处于哪个区域。

从波动观分析，薛定谔方程乃是一个波动方程，它完美地描述一个与时间、位置有关的量子波所发生的运动行为与所具有的量子性质，而解答这波动方程的波函数可以诠释为“在某时间、某位置发生相互作用的概率辐”。这宽松的诠释方式可以适用于波动观或粒子观。

不确定性原理

描述粒子物理行为的薛定谔方程是一种波动方程，它的波函数解答是一种延伸于空间的物质波，具有波动性。在波动力学里，做傅里叶分析可以得到一个重要结果，即假设波的波长越为明确，则波的位置越为不明确；反之亦然。物质波也遵守这结果，在量子力学里，这结果蜕化为不确定性原理，即粒子的位置与动量不可同时被确定，位置的不确定性 $\Delta {x}$ 与动量的不确定性 $\Delta {p}$ 遵守不等式 $\Delta {x}\Delta {p}\geq \hbar /2$ 。

不确定性原理表明了量子测量的不确定性，这是量子系统内秉的性质。由此性质还可以推导出粒子的波动性。

量子测量

根据哥本哈根诠释，粒子的运动遵守薛定谔方程，直到因被测量而发生波函数坍缩为止。假设对于某系统的某可观察量做测量，而描述这系统的波函数是由这可观察量的几个本征函数量子叠加而成，每次对于这可观察量做测量只能得到本征函数的本征值，不能得到任何其它数值。当波函数坍缩现象发生时，由于粒子与测量仪器彼此相互作用，系统的波函数会按照概率分布随机的约化为原本几个本征函数中的单独一个本征函数。这是量子测量的关键要素，将波函数与可观察量，如位置或动量，关联在一起。

量子系统随着时间流易而演化的两个过程为薛定谔方程预测的演化、波函数坍缩。有些教科书会将这两种过程分别当作量子力学的假设，然后从假设推导出量子力学的其他理论结果。很多物理学者认为，从薛定谔方程无法推导出波函数坍缩。这两种过程具有迥然不同的性质。薛定谔方程预测的演化具有决定性，能够从最初波函数预测未来的最终波函数；它还具有逆反性，能够将时间逆反地从最终态演化回最初态。波函数坍缩具有非决定性，从最初态按照概率分布随机地约化至最终态，无法预测这最终态到底是什么；它还具有非逆反性，测量动作将量子态的信息发掘出来，这是一种无法时间逆反的程序，获得的额外信息无法再还原。

量子隧穿效应

在经典力学里，当一个圆球慢慢地滚上一座高山，假若它没有足够能量翻过山顶到另一边，它会停止滚动，往反方向滚回。但是，薛定谔方程预测，这圆球跑到另一边的概率大于零，尽管它的能量不足以爬到山顶，这种波动性行为称为量子隧穿效应，无法用微粒说来解释这种效应。特别是对于微观粒子与适当形状的势垒，做实验很容易就可观察到这种效应。阿尔法衰变就是因为阿尔法粒子摆脱了本来不可能摆脱的强作用力束缚而从原子核逃逸出来的现象。

粒子的波动性

非相对论性薛定谔方程是波动方程。遵守这方程进行运动的粒子因此会显示出波动性行为。双缝实验是一个范例，它能够展示出粒子通常不会进行的波动行为。从两条狭缝传播出来的物质波在某些位置会相长干涉，在某些位置又会相消干涉，因此形成复杂的干涉图样。直觉而言，假设，从发射源到探测屏，每次只会出现单独一个粒子，即每次只有一个粒子独自通过两条狭缝，按照微粒说，累积多次发射不应该形成干涉图样。但是，做实验可以实际观察到这干涉图样，如同右图从真正实验获得的图样所展示。这意味着，虽然每次只有一个粒子通过狭缝，这粒子可以同时通过两条狭缝，自己与自己互相干涉。光子、电子、中子、原子、甚至分子，都可以表现出这种奇异的量子行为。

相对论性薛定谔方程

薛定谔方程并没有涉及到相对论效应。对于伽利略变换，薛定谔方程的形式不变。对于洛伦兹变换，薛定谔方程的形式会改变。为了要涵盖相对论效应，必须将薛定谔方程加以延伸。试想能量-动量关系式， $E^2 = p^2c^2 + m^2c^4$ ；

其中， $c$ 是光速， $m$ 是静止质量。

将这关系式内的能量与动量改为其对应的算符，将整个关系式作用于波函数，可以得到 $- \hbar^2\frac{\partial^2}{\partial t^2}\Psi = - \hbar^2c^2\nabla^2 \Psi + m^2c^4 \Psi$ 。

稍加编排，可以得到克莱因-戈尔登方程： $(\Box^2 + \mu^2) \psi = 0$ ；

其中， $\Box^2 = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2$ 是达朗贝尔算符， $\mu = \frac{mc}{\hbar}$ 。

对于洛伦兹变换，这方程的形式不会改变，是个洛伦兹不变式。但是，它是时间的二阶微分方程，玻恩的统计诠释不适用于它的解。^{[注 6]}它不适用于自旋1/2粒子，只适用于零自旋粒子。另外，这方程的解拥有正频率和负频率。平面波波函数解的色散关系式（dispersion relation）为 $\hbar^2\omega^2 - \hbar^2 c^2 k^2 = m^2 c^4$ ；

其中， $\omega$ 是角频率，可以是正值或负值。

对量子力学来说，正负角频率或正负能量，是一个很严峻的问题，因为无法从底端来限制能量的最低值。虽然如此，加以适当的诠释，这方程仍旧能够正确地给出零自旋粒子的相对论性波函数。

将克莱因-戈尔登方程作因式分解，从所得到的两个因子算符中的一个，可以得到整个狄拉克方程： $i \hbar \frac{\partial\Psi (\mathbf{r},t)}{\partial t} = \left( \frac{1}{i}\boldsymbol{\alpha \cdot \nabla} +\beta m \right) \Psi (\mathbf{r},t)$ ，

其中， $m$ 是自旋-½ 粒子的质量， $\mathbf {r}$ 、 $t$ 分别是空间位置、时间， $\beta = \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{pmatrix}$ 、 $\alpha_i = \begin{pmatrix} 0 & \sigma_i \\ \sigma_i & 0 \end{pmatrix}$ 是系数矩阵， $I$ 是2×2单位矩阵， $\sigma_i$ 是泡利矩阵。

狄拉克方程乃是时间的一阶微分方程，适用于自旋-½粒子。它的解称为旋量，拥有四个分量，因此有四个线性独立的解，其中两个对应于粒子，另外两个对应于反粒子。

哈密顿算符

量子力学中，哈密顿算符（英语：Hamiltonian，缩写符号：H或 ${\hat {H}}$ ）为一个可观测量，对应于系统的总能量。一如其他所有算符，哈密顿算符的谱为测量系统总能是所有可能结果的集合。如同其他自伴算符，哈密顿算符的谱可以透过谱测度（spectral measure）被分解，成为纯点（pure point）、绝对连续（absolutely continuous）、奇点（singular）三种部分。纯点谱与本征矢量相应，而后者又对应到系统的束缚态（bound states）。绝对连续谱则对应到自由态（free states）。奇点谱则很有趣地由物理学上不可能的结果所组成。举例来说，考虑有限深方形阱的情形，其许可了具有离散负能量的束缚态，以及具有连续正能量的自由态。

哈密顿算符产生了量子态的时间演化。若 $\left|\psi (t)\right\rangle$ 为在时间 t 的系统状态， $H\left|\psi (t)\right\rangle ={\mathrm {i}}\hbar {d \over dt}\left|\psi (t)\right\rangle$ 。

其中 $\hbar$ 为约化普朗克常数。此方程为薛定谔方程。（其与哈密顿-雅可比方程具有相同形式，也因为此，H 冠有哈密顿之名。）若给定系统在某一初始时间（t = 0）的状态，我们可以积分得到接下来任何时间的系统状态。其中特别的是，若 H 与时间无关，则 $\left|\psi (t)\right\rangle =\exp \left(-{{\mathrm {i}}Ht \over \hbar }\right)\left|\psi (0)\right\rangle$ 。

自伴算子

在数学里，作用于一个有限维的内积空间，一个自伴算子（self-adjoint operator）等于自己的伴随算子；等价地说，在一组单位酉正交基下，表达自伴算子的矩阵是埃尔米特矩阵。埃尔米特矩阵等于自己的共轭转置。根据有限维的谱定理，必定存在着一个正交归一基，可以表达自伴算子为一个实值的对角矩阵。

量子力学

在量子力学里，自伴算子，又称为自伴算符，或厄米算符（Hermitian operator），是一种等于自己的厄米共轭的算符。给予算符 $\hat{O}\,\!$ 和其伴随算符 $\hat{O}^{\dagger}\,\!$ ，假设 $\hat{O}=\hat{O}^{\dagger}\,\!$ ，则称 $\hat{O}\,\!$ 为厄米算符。厄米算符的期望值可以表示量子力学中的物理量。

可观察量

由于每一种经过测量而得到的物理量都是实值的。所以，可观察量 $O\,\!$ 的期望值是实值的： $\langle O\rangle=\langle O\rangle^*\,\!$ 。

对于任意量子态 $|\psi\rangle\,\!$ ，这关系都成立； $\langle \psi|\hat{O}|\psi\rangle=\langle \psi|\hat{O}|\psi\rangle^*\,\!$ 。

根据伴随算符的定义，假设 $\hat{O}^{\dagger}\,\!$ 是 $\hat{O}\,\!$ 的伴随算符，则 $\langle \psi|\hat{O}|\psi\rangle^*=\langle\psi |\hat{O}^{\dagger}|\psi\rangle\,\!$ 。因此， $\hat{O}=\hat{O}^{\dagger}\,\!$ 。

这正是厄米算符的定义。所以，表示可观察量的算符 $\hat{O}\,\!$ ，都是厄米算符。

可观察量，像位置，动量，角动量，和自旋，都是用作用于希尔伯特空间的自伴算符来代表。哈密顿算符 $\hat{H}\,\!$ 是一个很重要的自伴算符，表达为 $\hat{H} \psi = - \frac{\hbar^2}{2 m} \nabla^2 \psi + V \psi \,\!$ ；

其中， $\psi\,\!$ 是粒子的波函数， $\hbar\,\!$ 是约化普朗克常数， $m\,\!$ 是质量， $V\,\!$ 是位势。

哈密顿算符所代表的哈密顿量是粒子的总能量，一个可观察量。

动量是一个可观察量，动量算符应该也是厄米算符：选择位置空间，量子态 $|\psi\rangle\,\!$ 的波函数为 $\psi(x)\,\!$ ， $\langle\psi|\hat{p}|\psi\rangle=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \psi^*\frac{\hbar}{i}\frac{\partial\psi}{\partial x}\ dx=\left. \frac{\hbar}{i}\psi^*\psi\right|_{ - \infty}^{\infty} - \int_{ - \infty}^{\infty}\ \frac{\hbar}{i}\frac{\partial\psi^*}{\partial x}\psi\ dx=\int_{ - \infty}^{\infty}\ \left(\frac{\hbar}{i}\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)^*\psi\ dx=\langle\psi|\hat{p}|\psi\rangle^*=\langle\psi|\hat{p}^{\dagger}|\psi\rangle \,\!$ 。

对于任意量子态 $|\psi\rangle\,\!$ ， $\hat{p}=\hat{p}^{\dagger}\,\!$ 。所以，动量算符确实是一个厄米算符。

参考文献

希尔伯特空间

泛函分析